МонтажнеГГ, 45 - 19 ноября 2007 11:44

Модель первая: претендент - рекомендатель

Всем знакома ситуация, когда из всего множества объектов (статистики говорят: "генеральной совокупности" ) приходится выделять группу с улучшенными в каком-то смысле свойствами ("повышенной полезности", на том же языке). Как это сделать? Существует много способов, выберем самый очевидный: будем сравнивать "полезный параметр" наугад выбранного объекта (его прочность, удойность, производительность и т. д.) с некоторым порогом, и если данное свойство объекта окажется не меньше этого порога, считать объект элитным и включать в элитную группу. Измеритель этого порога будем именовать эталоном. Важно, что эталон - объект внешний по отношению, как к исходной совокупности, так и к формируемой группе. Он привносится извне и вообще может иметь иную природу, чем сортируемые объекты,- так, рейка для измерения роста новобранцев, указывая на гренадерский рост, сама не годится в гренадеры. Оперируя эталоном и найдя в исходной совокупности нужное число элементов, не худших, чем эталон, мы закончим формирование элитной группы.
Схема формирования идеализирована: чтобы ее заземлить, допустим, что при сравнении с эталоном возможна ошибка, так что в результате в элитной группе может оказаться и небольшое число неэлитных элементов.



С долей этих "сорных" или без нее, но элитная группа сформирована и может начать работать (рисунки 1 и 2). Но прежде чем отправить ее в мир с надеждой получить от того какую-нибудь пользу, введем еще одно условие: при необходимости пополнить группу из-за того, что какие-то элементы выбыли из нее (израсходовав ресурс, погибнув и т. д.), к помощи эталона прибегнуть уже нельзя. (Франциск Ассизский, сформировавший орден, после смерти причислен к лику святых.) Эталон был доступен только на этапе формирования группы. Как быть?
Решить эту проблему, как кажется, несложно, ведь вся элитная группа в свое время прошла проверку эталоном. Поступим так. Выберем наугад элитный элемент, назвав его "рекомендатель", и так же наугад элемент из исходной совокупности "претендента" и сравним их. Если претендент окажется не хуже рекомендателя, он включается в элиту.



Теперь - в жизнь! Критерий эталона был высок, ошибка ничтожна, резерв в виде исходного множества неисчерпаем. Наше элитное стадо, наш прибор из отборных деталей, наша горстка героев - вперед!
Хотя, нет, минуточку. Забыли еще одну важную вещь. Элементы группы неизбежно стареют, параметры их станут меняться, некоторые будут из группы выбывать. На какой режим выбывания настроить модель? Кто покинет элиту первым? Зависит ли время жизни члена элитной группы от значения его полезного параметра?
Как же, конечно, зависит. Худший из этих лучших первым и покинет группу. Как только член сборной перестанет показывать зачетный результат, так его тут же и спишут: "Лишь мгновение ты наверху - и стремительно падаешь вниз". Очень просто.
Не очень просто. Может быть и наоборот. Охота на Марадону начинается сразу после свистка судьи, и ногу ему сломают раньше, чем футболисту классом пониже. Можно придумать и технический пример. Представим себе, что в подшипнике среди нормальных шариков находится один дефектный - меньшего диаметра. Среди других он катается, но нагрузки-то не несет! Кто разрушится позже? Нищенствующий брат-францисканец имеет все шансы последовать за отцом-эталоном в лучший мир скорее, чем его менее аскетичный и более сытый сотоварищ.
Ясно, что нужно исследовать два режима: когда первыми выбывают худшие и когда первыми выбывают лучшие элементы.
Жизнь математической модели - это последовательность шагов, на каждом из которых из элитной группы удаляются и заменяются претендентами элементы с недопустимо изменившимся параметром. Если лучший существует дольше (положительная обратная связь), то на первых же шагах "вымирает" часть "сорных", попавших в элиту, миновав эталон, и возрастает доля элитных. Дальнейшие шаги делают группу все более элитной (рисунок 3).



Если же лучшие выбывают первыми (отрицательная обратная связь), то уже начальный шаг уносит "сверхэлиту" (рисунок 4) и процесс пополнения идет без нее - они рекомендателями быть не смогли, а остальные, в том числе "сорные", померялись доблестью с претендентами. Результат первого пополнения дает основания для противоречивых прогнозов,- с одной стороны, доля элитных, правда, с левого, худшего края диапазона, увеличилась, но с другой - рекомендатели-сорняки привели себе подобных, и общее их число угрожающе увеличилось. Что будет дальше?



Дальше - плохо. Как видно из рисунка, элитная группа стремительно деградирует (особенно показательны шаги 7 и 9 - пики на этих кривых показывают, что в группе даже чаще, чем в исходном множестве - "внешнем мире", по-прежнему отделенном от нее процедурой приема,- встречаются "плохие" элементы), а в финале все приходит к исходному распределению. По-прежнему закон функционирования выбрасывает из группы наиболее полезных, по-прежнему претенденты взаимодействуют с рекомендателями, но смысла это уже не имеет. От шага к шагу свойства некогда элитной группы не меняются, и современник с трудом верит и в золотой век (шаги 0 и 1), и в эпоху упадка (шаги 7-9) - он свидетель эпохи застоя.
Описанная модель легко реализуется на любом персональном компьютере, обладает большой гибкостью и сможет служить интересной игрой. Задавая различные исходные распределения, законы выбывания, взаимоотношения претендента и рекомендателя можно получать очень интересные, зачастую парадоксальные судьбы элитных групп.
Сопоставим описанную модель с механизмом воспроизводства кадров Административной Сист�

• 
• 
•